HDMI-Auflösung von 1920x1080 auf 1280x720 reduzieren

Hallo,
bin neu hier und habe von so Dingen noch nicht so richtig Ahnung. Habe auch hier im Forum gesucht, jedoch ohne Erfolg, vielleicht fehlen mir auch einfach nur die richtigen Begriffe. Hoffe hier kann mir jemand helfen.

Also folgendes Setup schwebt mir vor:
Ich habe einen HTPC mit nur einem HDMI-Ausgang, dieser soll an Fernseher und Beamer angeschlossen werden, Sound über Stereoboxen, Dolby interessiert mich nicht. Klar, die Auflösung im HTPC habe ich auf 1920x1080 eingestellt, weil ich die ja voll ausnutzen möchte auf meinem LCD Fernseher mit Blurays etc. Nun interessiere ich mich für folgenden Beamer: BenQ W710ST DLP-Projektor. Dieser hat jedoch nur 1280x720 pixel und die FullHD-Auflösung wird der ja dann nicht darstellen können.

Meine Idee war, das Signal mit HDMI-Splitter aufzutrennen (1<3), einen Ausgang an den LCD, einen an Beamer und einen zum Sound (mit nem Sound Extractor extrahieren, oder so ähnlich). Dann ist mir aber oben beschriebenes Problem eingefallen, daß ich ja 2 verschiedene Auflösungen bräuchte...

Wie könnte ich das jetzt lösen? Evtl. AV-Receiver? Kann der sowas? Oder gibt es Geräte, die das machen? Oder lieber gleich einen FullHD-Beamer? Andere Grafikkarte ist bei meinem PC keine Option... Habe echt gar keine Ahnung wie das gehen soll. Also für Eure Tipps und Kaufempfehlungen wäre ich richtig dankbar, bedanke mich schonmal!

Grüße c2h